Дифференциальная Геометрия Учебник
Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную книгу: Дифференциальная геометрия и топология.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел геометрии, в к-ром изучаются геометрич. Образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич.
Изучаются свойства кривых и поверхностей в малом, т. Свойства сколь угодно малых их кусков. Кроме того, в Д. Изучаются свойства семейств линий и поверхностей (см., напр., Конгруэнция, Сеть).
Возникла и развивалась в тесной связи с математич. Анализом, к-рый сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрич. Понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа.
Так, напр., понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема - понятию интеграла. Возникновение Д. Относится к 18.
И связано с именами Л. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Г. Монжем (Приложение анализа к геометрии, 1795). Gauss) опубликовал работу 'Общее исследование о кривых поверхностях', в к-рой заложил основы теории поверхностей в ее современном виде. Перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике. Открытие в 1826 Н. Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том.
1, если при где д(Х)- расстояние точки Xмножества Мот т. Если в качестве Мвзять кривую, а в качестве тпрямую, проходящую через точку Окривой, то при условие соприкосновения определяет касательную к кривой в точке О(рис. Гладкая (дифференцируемая) в каждой точке имеет определенную касательную.
Направление касательной в точке t 0 кривой, задаваемой уравнениями (1), совпадает с направлением вектора х'( t 0), у'( t 0), z(t 0). Выводятся уравнения касательной для различных способов аналитич. Адания кривой. В частности, для кривой, задаваемой уравнениями (1), уравнения касательной в точке, отвечающей значению параметра t 0, будут где индекс 0 указывает на значение функций х, у, z и их производных в точке t 0. Если взять в качестве тплоскость, проходящую через точку Окривой М, то условие соприкосновения при определяет соприкасающуюся кривой (рис. Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. Она либо единственная, либо любая плоскость, проходящая череа касательную кривой, является соприкасающейся.
При движения вдоль кривой ее вращается. Скорость этого вращения при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой наз. Кривизной кривой. В случае параметрич.
Задания кривой уравнениями (1) кривой определяется по формуле где r(t)- вектор-функция с координатами x(t), y(t), zt). Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.
Геометрия 10 11 Атанасян Скачать
При движении вдоль кривой в окрестности такой точки вращается, причем касательная кривой является мгновенной осью этого вращения. Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой наз. Кручением кривой. В зависимости от направления вращения определяется знак кручения. Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определенное.
В случае параметрич. Задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле Плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением - плоская. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, наз.
Нормалью к кривой. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, наз. Главной нормалью, а нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, наз.
Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, наз. Естественным трехгранником (трехгранником Френе).
Если ребра естественного трехгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то кривой в естественной параметризации имеет в окрестности этой точки вид где k 1 и k 2- кривизна и кручение кривой в указанной точке. 3 изображены проекции кривой на грани естественного трехгранника вблизи точки с отличными от нуля кривизной и кручением. Единичные векторы t, v, b касательной, главной нормали и бинормали кривой при движении вдоль кривой изменяются.
При соответствующем выборе направления этих векторов из определения кривизны и кручения получаются формулы где штрихом обозначено по дуге кривой. Формулы (2) наз. Френе формулами. Кривая с отличной от нуля кривизной определяется с точностью до положения в пространстве заданием ее кривизны и кручения в функции дуги sкривой.
В связи с этим систему уравнений наз. Натуральными уравнениями кривой. Важный кривых представляют плоские кривые, т.
Где индекс 0указывает на значение функций х( и, v), у( и, v), z( u, v )и их производных в точке (u 0, v 0). Прямая, проходящая через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, наз. Нормалью к поверхности. Если r( u, v)- с координатами х( и, v), y( u,v), z( u, v), то имеет направление нормали поверхности.
Для поверхностей вводится важное понятие соприкасающегося параболоида. Это -, для к-рого нормаль к поверхности в данной точке является его осью и к-рый имеет соприкосновение порядка a2 с поверхностью в этой точке. В каждой точке дважды дифференцируемой поверхности существует единственный, к-рый может вырождаться в параболич.
Или плоскость. Если поверхность отнести к прямоугольным декартовым координатам, приняв данную точку поверхности за начало координат, а касательную плоскость в ней за плоскость ху, то уравнение поверхности в окрестности точки касания будет а уравнение соприкасающегося параболоида в этой точке (производные функции f берутся в точке касания). В зависимости от вида соприкасающегося параболоида точки поверхности подразделяются на эллиптические точки, гиперболические точки, параболические точки и уплощения точки.
Учебник По Геометрии 8 Класс
Значение соприкасающегося параболоида состоит в том, что он воспроизводит форму поверхности с точностью до бесконечно малых 2-го порядка ( воспроизводит ее форму с точностью до бесконечно малых 1-го порядка). С помощью соприкасающегося параболоида вводится понятие сопряженных направлений на поверхности.
Именно два направления на поверхности в данной точке наз. Сопряженными, если содержащие их прямые сопряжены относительно соприкасающегося параболоида в этой точке. Ортогональные наз. В данной точке поверхности, как правило, два главных направления.
Исключение составляют точки уплощения и специальные эллиптич. Течки ( округления точки), в к-рых каждое направление главное.
Линия, у к-рой в каждой точке направление является главным, наз. Кривизны линией. В точках поверхности, не являющихся эллиптическими, существуют самосопряженные направления. Асимптотическими направлениями. Линия на поверхности, направление к-рой в каждой точке асимптотическое, наз. Асимптотической линией.
Подобно тому, как для семейства кривых на плоскости, вводится понятие огибающей семейства поверхностей. При этом семейство поверхностей может быть однопараметрическим или двухпараметрическим. В теории поверхностей особое значение имеет однопараметрич. Семейства плоскостей. В теории поверхностей важную роль играют две дифференциальные квадратичные формы поверхности, связанные с поверхностью. Если через r( u, v )обозначить вектор точки на поверхности, а через ( и, v )единичный вектор нормали к поверхности, то эти квадратичные формы записываются в виде Коэффициенты первой и второй квадратичных форм обычно обозначаются Е, 2F, G и L, 2M, N соответственно.
Первая из этих форм дает расстояние на поверхности между точкой (и, v)и бесконечно близкой точкой ( u+du,u +du): Длина кривой, задаваемой на поверхности уравнениями u=u(t), v=v(t), вычисляется при помощи первой квадратичной формы Первая, поверхности определяет углы между кривыми на поверхности. В частности, для угла J между координатными линиями u=const, u=const в точке их пересечения имеет место формула Отсюда видно, что координатная на поверхности ортогональна, если F=0. Площадь поверхности также определяется первой квадратичной формой и для области W на поверхности вычисляется по формуле Вторая квадратичная характеризует искривленность поверхности в пространстве.
Именно, второй квадратичной формы к первой представляет собой кривизну плоского сечения, нормального к поверхности, проведенного в направлении du: dv (см. Нормальная кривизна поверхности).
Существует простая связь между кривизной кривой, лежащей на поверхности, и кривизной нормального сечения поверхности, проведенного через касательную кривой ( Менъе теорема). Экстремальные значения нормальной кривизны поверхности в данной точке наз. Главными кривизнами. Они достигаются по главным направлениям. Нормальная кривизна поверхности в произвольном направлении выражается через главные кривизны и углы, к-рые это направление образует с главными ( Эйлера формула). Главные кривизны k 1 и k 2 определяются из уравнения Их полусумма называется средней кривизной поверхности.
Важный класс поверхностей составляют поверхности нулевой средней кривизны - так называемые минимальные поверхности. Они отличаются тем, что достаточно малый кусок такой поверхности имеет наименьшую среди поверхностей с той же границей.
Произведение K=k 1k 2 главных кривизн наз. Гауссовой кривизной поверхности Из этой формулы видно, что поверхности выражается через коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Однако гауссову кривизну можно выразить через коэффициенты только первой формы и их производные ( Гаусса теорема).
Две поверхности, между к-рыми может быть установлен, сохраняющий длины кривых, наз. Изометричными поверхностями. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм независимы. Одно из соотношений между этими коэффициентами дает Гаусса. Существуют еще два соотношения, открытые К. Петерсоном и Д. Codazzi) (см.
Петерсона- Кодацци уравнения). Эти три соотношения составляют полную систему независимых соотношений между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Согласно Бонне теореме, если для двух дифференциальных квадратичных форм, из к-рых первая положительно определенная, выполнены соотношения Гаусса, Петерсона, Кодацци, то существует, и притом единственная, с точностью до положения в пространстве, поверхность, имеющая эти формы первой и соответственно второй квадратичными формами. Раздел теории поверхностей, в к-ром изучаются свойства фигур на поверхности, зависящие только от измерения длин кривых на поверхности, наз. Внутренней геометрией поверхностей.
Так как длины кривых определяются первой квадратичной формой, то речь идет о таких свойствах, к-рые связаны только с первой квадратичной формой. В частности, объектами внутренней геометрии поверхностей являются длины кривых, углы между кривыми, площадь и гауссова кривизна.
Важным понятием внутренней геометрии поверхности является понятие геодезической линии. Так называется, к-рая на достаточно малом участке является кратчайшей среди всех кривых на поверхности, соединяющих ее концы. Следующее важное понятие внутренней геометрии поверхности - понятие геодезической кривизны кривой. Гаусса- Бонне теорема связывает от гауссовой кривизны поверхности по площади, интеграл от геодезич.
Кривизны края по его длине и эйлерову характеристику. Внутренняя геометрия поверхности может быть построена как геометрия двумерного метрич. Многообразия, в к-ром расстояние между бесконечно близкими точками (u, v)и ( u+du, v+dv )определяется с помощью заданной дифференциальной формы ds 2. При таком подходе к внутренней геометрии поверхности она допускает естественное обобщение, при к-ром заданное имеет любую п, а метрика задается дифференциальной положительно определенной квадратичной формой ппеременных ds 2=g ab du a du b.
Дальнейшее обобщение состоит в отказе от положительной определенности формы ds 2. Это приводит к теории пространств общей теории относительности, в частности к Минковского пространствам.
Если, наконец, отказаться и от квадратичной формы линейного элемента ds 2, а рассматривать общую положительную однородную форму первой степени от du a, то получим Финслерово пространство. Еще более далеким обобщением внутренней геометрии поверхности является геометрия пространств со связностью данной группы, в частности геометрия пространств с аффинной связностью, проективной связностью и конформной связностью. Лит.:1 Вianсhi L., Lezioni di geometria differenziale, t. 1-2, 3 ed., Bologna, 1927-30; 2 Darbоux G., Lemons sur la theorie generale des surfaces et les applieatonsgeomgtriques du calcul infinitesimal, p.
1-4, 2 ed., P., 1894 - 1925; 3 Стройк Д. Смотреть что такое 'ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ' в других словарях:.
— раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного Большой Энциклопедический словарь. — ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, тип геометрии, в которой используются методы дифференциального ИСЧИСЛЕНИЯ для анализа геометрических понятий, таких как кривые и поверхности. Например, кривую, описывающую траекторию полета снаряда либо орбиту Научно-технический энциклопедический словарь. — раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. Являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и Большая советская энциклопедия.
— и дифференциальная топология два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы. Они находят множество применений в физике, особенно в общей Википедия.
— раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К. Гаусса (1777 1855), Энциклопедия Кольера. — раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трёхмерного Энциклопедический словарь.
— часть геометрии, изучающая геом. Образы на основе метода координат средствами дифференц. Первоначально Д. Изучала геом. Образы обычного 3 мерного пространства (линии, поверхности), а затем (со 2 й пол. 19 в.) и многомерных Большой энциклопедический политехнический словарь. — раздел геометрии, в к рой геом.
Образы изучаются на основе метода координат средствами дифференц. Было изучение геом. Образов обычного трёхмерного пространства (линий, поверхностей). Рамки Д Естествознание. Энциклопедический словарь.
— раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами. Содержание 1 Способы задания кривой 1.1 Плоские кривые Википедия.
— Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела Википедия. Книги., Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Дифференциальная геометрия кривых — раздел., С.С.
Геометрия 7 Класс Атасян Скачать
Учебник рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям мат. Предлагаемая вниманию читателя книга, написанная известным отечественным математиком С. Бюшгенсом, представляет собой учебник по дифференциальной геометрии. Автор рассматривает следующие.